La démonstration : la logique formelle

La logique consiste à établir de manière correcte des rapports entre des propositions.

On parle de « formel » par opposition à « matériel », au sens du contenu. « La forme et le fond » si vous voulez. Une phrase a un contenu, c’est-à-dire soit un référent (c’est le fait réel auquel elle fait référence, par exemple « il pleut » renvoie au fait que réellement, il pleut) soit une signification, un sens (par exemple : « l’avarice est une névrose », cela est un jugement qui rapproche deux termes et affirme qu’ils sont liés »).

Mais dans la logique formelle, on est complètement indifférent au contenu, ce qui fait qu’on peut remplacer les termes par des variables, A, B, x, y…

Soit par exemple le fameux syllogisme :

Tous les hommes sont mortels

Or, Socrate est un homme

Donc Socrate est mortel.

Formellement, c’est un raisonnement de type

Tout A est B

Or, X est A

Donc X est B

Et si j’écris :

Tous les poireaux sont des chauve-souris

Or, le premier ministre est un poireau

Donc le premier ministre est une chauve-souris

Même si le contenu est absurde, le raisonnement est formellement parfaitement juste.

La logique formelle ne s’intéresse donc qu’à la validité formelle des raisonnements, c’est-à-dire que les déductions qu’on tire de propositions posées auparavant sont légitimes.

Ces rapports sont de déduction reviennent donc au problème: étant donné A, que puis-je en déduire pour B?
Commençons par dénombrer les rapports possibles entre A et B. On les dessine avec des schémas, des cercles. Le cercle A rassemble tous les individus qui possèdent la qualité A, de même pour le cercle B.
Ces cercles (qui donnent les rapports possibles entre A et B) peuvent être :

1/ Séparés : alors, A et B sont contradictoires (aucun A n’est B, aucun B n’est A)

Dans le cas de la contradiction, il se présente deux cas de figure :

– Soit on est dans une logique du tiers exclu, et cela signifie que non seulement A n’est jamais B ni B jamais A, mais que de plus, si non-A, alors B (le tiers, c’est-à-dire autre chose, est exclu)

AB contradictoires avec TExc

On peut donner des exemples dont le contenu correspond à cette forme, pour nous la rendre plus intuitive. Par exemple ici, considérons qu’un être humain ne peut être à la fois homme (A) et femme (B). On a bien : aucun A n’est B, et aucun B n’est A. Mais de plus, si un être humain n’est pas A, c’est qu’il est B. C’est l’un ou l’autre, mais pas les deux, ni autre chose.

– Soit on n’est pas dans une logique du tiers exclu, et alors si non-A, on ne peut pourtant pas en déduire que B.

AB contradictoires

Par exemple, il est contradictoire d’être à la fois dans la chambre et dans la cuisine, mais si je ne suis pas dans la chambre, je ne peux pas en déduire que je suis dans la cuisine, je peux aussi être ailleurs.

2/ Superposés : alors A et B sont équivalents (tous les A sont B, tous les B sont A), ou peut-être pour mieux dire : complémentaires (il n’y a pas de A sans B, ni de B sans A)

A B complémentaires

Par exemple, si A = « avoir un côté gauche », et B = « avoir un côté droit », on n’aura jamais A sans avoir en même temps B, et réciproquement.

3/ Partiellement superposés : A et B sont indifférents (certains A sont B, d’autres non, certains B sont A, d’autres non). De cette forme, on ne peut rien déduire avec certitude.

AB indépendants

Par exemple, A = Etre rouge et B = Etre grand.

4/ A est circonscrit dans B : A est alors condition suffisante de B (tous les A sont B, mais tous les B ne sont pas A – autrement dit : si on a A, alors c’est aussi un B (« il suffit de A pour que B »)

A C suff de B

Par exemple, A = être Français et B = être européen.

5/ B est circonscrit dans A : A est alors la condition nécessaire de B (tous les B sont A, mais tous les A ne sont pas B – autrement dit : si on a un B, c’est qu’il est aussi un A (« il faut A pour que B »).

A C nec de B

Par exemple : A = avoir 18 ans au moins et B = voter

Remarquez ici que si A est CN (condition nécessaire) de B, alors B est CS (condition suffisante) de A.

On peut donc par exemple très bien dire :

 » S’il suffit d’être heureux pour être aimé, alors il faut être aimé pour être heureux. »

Cette proposition est tout à fait valide. Elle signifie que si TOUT homme heureux est aimé, le groupe des hommes heureux est à l’intérieur du groupe des hommes aimés. Donc qu’il faut, pour prétendre être dans ce groupe des hommes heureux, être nécessairement dans celui des aimés.

Evidemment, du point de vue du sens, on peut contester, on peut dire qu’on peut être heureux sans être aimé, mais encore une fois, ça n’est que la rigueur de la déduction à partir de l’hypothèse initiale qui nous intéresse.


 

Construisons le tableau de vérité logique général des rapports possibles entre les propositions.

Il y a 8 propositions (implications) qui peuvent relier A et B.
On peut dire : « si A alors B »,

ou « si non-A alors B »,

ou « si B alors A »,

etc.

On gardera 5 possibilités de rapports entre A et B (Equivalent, contradiction avec tiers exclu, contradiction sans tiers exclu, et les deux conditions ; on ne garde pas la 3/ ci-dessus, celle de l’indifférence, car précisément, il n’y a pas de rapport assignable). On examine alors pour chaque proposition de relation entre A et B, et pour chaque rapport donné, si la proposition est vraie, fausse ou indéterminée.

Tableau logique

Emploi de ce tableau : La formule (qui est le raisonnement) : « Si rapport, alors implication »
Par exemple :
« Si A est condition nécessaire de B (rapport), alors « si A alors B » (proposition)
Pour cet exemple : sous ce rapport, la proposition « si A alors B » n’est pas nécessairement vraie (ce n’est pas parce qu’il faut A pour avoir B que si on a A, on a B). Elle n’est pas nécessairement fausse non plus. Elle est indéterminée.
Et donc, le raisonnement qui affirme la vérité nécessaire de la proposition sous ce rapport n’est pas vrai. La proposition étant indéterminée sous ce rapport, alors le raisonnement peut être dit faux.
Le raisonnement suivant sera donc vrai :
« Ce n’est pas parce que si A est condition nécessaire de B, alors « si A alors B » ».

Ex : « Ce n’est pas parce qu’il faut être en Europe pour être en France que si on est en Europe, on est en France ».
(S’aider d’exemples qui reprennent notre schématisation par inclusions d’éléments aide beaucoup l’imagination à intuitionner le raisonnement : mais je pourrais prendre un exemple plus obscur :
Ex2 : « Ce n’est pas parce qu’il faut travailler pour réussir que si on travaille, on réussira »
Ou un exemple parfaitement farlelu :
Ex3 : « Ce n’est pas parce qu’il faut savoir chanter pour savoir cuisiner que si on sait cuisiner, on sait aussi chanter ».
Le raisonnement dans ce dernier exemple est parfaitement valide (où l’on voit bien que la validité logique est parfaitement indifférente à la vérité et même au sens d’une phrase).


 

Quelques exemples d’applications (entraînez-vous!)

1/ S’il suffisait de se lever tôt pour être riche, alors les pauvres seraient des lève-tard

2/ Puisqu’on ne peut pas être à la fois calme et ambitieux, les nerveux en veulent toujours plus.

3/ Puisqu’il suffit que tu sois là pour que je sois heureux, il le faut aussi.

4/ Il faut ne pas le faire exprès pour gagner, et donc tous les perdants voulaient gagner.

5/ … et tous ceux qui ont voulu gagner ont perdu

6/ Ton absence suffit à me réjouir, et je suis donc affligé quand tu es là.

7/ Si aucun homme n’est sans péché, tous les pécheurs sont humains.

8/ S’il faut que tu chantes pour qu’il pleuve, il suffit qu’il pleuve pour être sûr que tu chantes…

9/ Il n’y a pas de fumée sans feu, donc s’il n’y a pas de fumée, c’est qu’il n’y a pas de feu

10/ Etant donné qu’il est faux que ceux qui sont là n’ont pas de ticket, c’est donc qu’il faut en avoir un pour être là.

Réponses

1- Vrai

2- Indéterminé (cela dépend si on peut n’être ni nerveux, ni ambitieux. Si c’est le cas, alors ce serait vrai, mais ça n’est pas dit)

3 – faux

4 – faux

5 – vrai

6 – indéterminé (donc, si on veut, c’est faux de l’affirmer… je peux aussi être content quand tu es là… )

7 – indéterminé (donc faux de l’affirmer, peut-être d’autres êtres peuvent-ils être pécheurs)

8 – vrai

9 – faux

10 – La phrase est ambigüe :

 

Quelques autre exemples expliqués :
L’intuition, le sens des phrases, nous aident souvent à saisir la justesse logique d’une phrase, précisément parce qu’on pense plus au sens qu’à la logique même. Il est donc souhaitable, pour s’exercer à maîtriser la pure logique, de prendre des exemples qui n’ont pas forcément de sens.

Encore une fois, tout cela n’est qu’une certaine gymnastique cérébrale, qui permet ensuite dans ses raisonnements d’éviter certaines fautes de déductions.

1/ « Ce n’est pas parce qu’on ne peut pas être à la fois riche et heureux que les pauvres, eux, sont heureux ».

A = être riche B = être heureux.

« On ne peut être à la fois riche et heureux », situation de la contradiction sans tiers exclu (parce que si on ne peut être en même temps riche et heureux, il est possible de n’être aucun des deux… .

La phrase dit donc : Si A cont. B, alors si non-A alors B.

Notre tableau indique que cela est indéterminé. On ne peut donc déduire du postulat :  » on ne peut être en même temps riche et heureux » que les pauvres sont heureux.

Et donc la phrase en « ce n’est pas parce que… » est vraie.

2/ Ce n’est pas parce qu’il suffit d’être heureux pour être aimé que les mal-aimés sont malheureux

Mais si! (heureux CS de aimé, la proposition : si non B alors non A est vraie, donc cette phrase est invalide)
3/ Ce n’est pas parce qu’il suffit d’être heureux pour être aimé que les malheureux sont mal-aimés.

Ça c’est vrai (heureux CS de aimé, la proposition : si non A alors non B est indéterminée, donc le raisonnement est valide).
4 / S’il suffit d’être heureux pour être aimé, alors il faut être aimé pour être heureux.

Vrai (vu tout à l’heure)
5/ S’il faut manger du pain pour ne plus avoir faim, alors il suffit d’en manger pour ne plus avoir faim.

Eh non… ce n’est pas parce que c’est nécessaire que c’est suffisant. Evidemment, ici, le contenu est trompeur. Mais on aurait pu dire : S’il faut avoir 18 ans pour aller voter, il suffit d’avoir 18 ans pour aller voter… mais non, il faut aussi des convictions politiques…
6/ S’il suffit de manger du pain pour ne plus avoir faim, alors pour se rassasier, il faut en manger.

Non plus, que quelque chose suffise ne signifie pas que ça soit nécessaire. Il suffit d’être Français pour être Européen, mais ça n’est pas nécessaire (on peut aussi être Allemand et ça marche aussi).
7/ Puisqu’il faut se raser pour être président de la république, alors ceux qui ne sont pas présidents ne se rasent pas

Faux. (raser CN de président, la proposition : si non A alors non B est indéterminée, le raisonnement n’est donc pas valide).

4 commentaires sur “La démonstration : la logique formelle

  1. Bonjour,

    Je passe au détour de mes recherches sur votre site.

    Tous les poireaux sont des chauve-souris
    Or, le premier ministre est une chauve-souris
    Donc le premier ministre est un poireau

    Il me semble que vous pensiez écrire ceci :
    Tous les poireaux sont des chauve-souris
    Or, le premier ministre est un poireau
    Donc le premier ministre est une chauve-souris

    Merci beaucoup pour votre page qu’en simplifiée je présenterai sûrement à mon fils (10 ans)

    (inutile de mettre mon message en ligne)

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